函数y=2x^3+2x^2+x的主要性质

主要内容:

本文主要介绍函数y=2x^3+2x^2+x的定义域、单调性、值域、凸凹性及极限等性质,并举例介绍函数导数的应用,同时通过函数导数知识,求解函数的单调和凸凹区间(www.isyn.cn)。

函数定义域:

根据函数特征,函数y=2x^3+2x^2+x右边表达式为自变量的多项式,即可取任意实数,故函数的定义域为:(-∞,+∞)。

函数单调性:

用导数的知识来判断函数的单调性,并求解函数的单调区间。

∵y=2x^3+2x^2+x,

∴dy/dx=6x^2+4x+1,

对于g(x)=6x^2+4x+1,有:

判别式△=4^2-4*6*1<0,即dy/dx>0.

所以函数在定义域上为增函数。

函数导数应用:

例如求以下点的切线方程:

A(0,0),B(-1/3,-5/27),C(1,5),D(-1,-1)处的切线。

对于点A(0,0)处,有dy/dx=1,则由直线的点斜式得切线方程为:y-0=1(x-0),即y=x。

对于点B(-1/3,-5/27)处,dy/dx=1/3,则由直线的点斜式得切线方程为:

y+5/27=1/3(x+1/3)。

对于点C(1,5)处,有dy/dx=11,则由直线的点斜式得切线方程为:y-5=11(x-1)。

对于点 D(-1,-1)处,有dy/dx=3,同理由直线的点斜式得切线方程为:y+1=3(x+1)。

函数凸凹性:

∵dy/dx=6x^2+4x+1

∴d^2y/dx^2=4(3x+1),令d^2y/dx^2=0,则:

x=-1/3,且有:

(1)当x∈(-∞,-1/3)时,d^2y/dx^2>0,

则此时函数为凹函数。

(2)当x∈[-1/3,+∞)时,d^2y/dx^2<0,

则此时函数为凸函数。

函数的极限:

lim(x→+∞) 2x^3+2x^2+x=-∞;

lim(x→0) 2x^3+2x^2+x=1;

lim(x→-∞) 2x^3+2x^2+x=+∞;

根据函数的极限可知,函数的值域为(-∞,+∞)。

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